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割圆术
刘徽割圆术示意.
割圆术（cyclotomic method） 所谓“割圆术”,是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的方法. “圜,一中同长也”.意思是说：圆只有一个中心,圆周上每一点到中心的距离相等.早在我国先秦时期,《墨经》上就已经给出了圆的这个定义,而公元前11世纪,我国西周时期数学家商高也曾与周公讨论过圆与方的关系.认识了圆,人们也就开始了有关于圆的种种计算,特别是计算圆的面积.我国古代数学经典《九章算术》在第一章“方田”章中写到“半周半径相乘得积步”,也就是我们现在所熟悉的公式. 为了证明这个公式,我国魏晋时期数学家刘徽于公元263年撰写《九章算术注》,在这一公式后面写了一篇1800余字的注记,这篇注记就是数学史上著名的“割圆术”.
编辑本段数学意义
“割圆术”,则是以“圆内接正多边形的周长”,来无限逼近“圆周长”.刘徽形容他的“割圆术”说：割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣. 即通过圆内接正多边形细割圆周,并使正多边形的周长无限接近圆周长,进而来求得较为精确的圆周率. 刘徽发明“割圆术”是为求“圆周率”.那么圆周率究竟是指什么呢?它其实就是指“圆周长与该圆直径的比率”.很幸运,这是个不变的“常数”!我们人类借助它可以进行关于圆和球体的各种计算.如果没有它,那么我们对圆和球体等将束手无策.同样,圆周率数值的“准确性”,也直接关乎到我们有关计算的准确性和精确度.这就是人类为什么要求圆周率,而且要求得准的原因. 根据“圆周长/圆直径=圆周率”,那么圆周长=圆直径*圆周率=2*半径*圆周率（这就是我们熟悉的圆周长=2πr的来由）.因此“圆周长公式”根本就不用背的,只要有小学知识,知道“圆周率的含义”,就可自行推导计算.也许大家都知道“圆周率和π”,但它的“含义及作用”往往被忽略,这也就是割圆术的意义所在. 由于“圆周率=圆周长/圆直径”,其中“直径”是直的,好测量；难计算精确的是“圆周长”.而通过刘徽的“割圆术”,这个难题解决了.只要认真、耐心地精算出圆周长,就可得出较为精确的“圆周率”了.——众所周知,在中国祖冲之最终完成了这个工作.
编辑本段发展历史
中国古代从先秦时期开始,一直是取“周三径一”（即圆周周长与直径的比率为三比一）的数值来进行有关圆的计算.但用这个数值进行计算的结果,往往误差很大.正如刘徽所说,用“周三径一”计算出来的圆周长,实际上不是圆的周长而是圆内接正六边形的周长,其数值要比实际的圆周长小得多.东汉的张衡不满足于这个结果,他从研究圆与它的外切正方形的关系着手得到圆周率.这个数值比“周三径一”要好些,但刘徽认为其计算出来的圆周长必然要大于实际的圆周长,也不精确.刘徽以极限思想为指导,提出用“割圆术”来求圆周率,既大胆创新,又严密论证,从而为圆周率的计算指出了一条科学的道路. 在刘徽看来,既然用“周三径一”计算出来的圆周长实际上是圆内接正六边形的周长,与圆周长相差很多；那么我们可以在圆内接正六边形把圆周等分为六条弧的基础上,再继续等分,把每段弧再分割为二,做出一个圆内接正十二边形,这个正十二边形的周长不就要比正六边形的周长更接近圆周了吗?如果把圆周再继续分割,做成一个圆内接正二十四边形,那么这个正二十四边形的周长必然又比正十二边形的周长更接近圆周.这就表明,越是把圆周分割得细,误差就越少,其内接正多边形的周长就越是接近圆周.如此不断地分割下去,一直到圆周无法再分割为止,也就是到了圆内接正多边形的边数无限多的时候,它的周长就与圆周“合体”而完全一致了. 按照这样的思路,刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形,并由此而求得了圆周率 为3.14和 3.1416这两个近似数值.这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确的数据.刘徽对自己创造的这个“割圆术”新方法非常自信,把它推广到有关圆形计算的各个方面,从而使汉代以来的数学发展大大向前推进了一步.以后到了南北朝时期,祖冲之在刘徽的这一基础上继续努力,终于使圆周率精确到了小数点以后的第七位.在西方,这个成绩是由法国数学家韦达于1593年取得的,比祖冲之要晚了一千一百多年.祖冲之还求得了圆周率的两个分数值,一个是“约率” ,另一个是“密率”.,其中 这个值,在西方是由德国的奥托和荷兰的安东尼兹在16世纪末才得到的,都比祖冲之晚了一千一百年.刘徽所创立的“割圆术”新方法对中国古代数学发展的重大贡献,历史是永远不会忘记的.
编辑本段基本算法
根据刘徽的记载,在刘徽之前,人们求证圆面积公式时,是用圆内接正十二边形的面积来代替圆面积.应用出入相补原理,将圆内接正十二边形拼补成一个长方形,借用长方形的面积公式来论证《九章算术》的圆面积公式.刘徽指出,这个长方形是以圆内接正六边形周长的一半作为长,以圆半径作为高的长方形,它的面积是圆内接正十二边形的面积.这种论证“合径率一而弧周率三也”,即后来常说的“周三径一”,当然不严密.他认为,圆内接正多边形的面积与圆面积都有一个差,用有限次数的分割、拼补,是无法证明《九章算术》的圆面积公式的.因此刘徽大胆地将极限思想和无穷小分割引入了数学证明.他从圆内接正六边形开始割圆,“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至不可割,则与圆周合体,而无所失矣.”也就是说将圆内接正多边形的边数不断加倍,则它们与圆面积的差就越来越小,而当边数不能再加的时候,圆内接正多边形的面积的极限就是圆面积.刘徽考察了内接多边形的面积,也就是它的“幂”,同时提出了“差幂”的概念.“差幂” 是后一次与前一次割圆的差值,可以用图中阴影部分三角形的面积来表示.同时,它与两个小黄三角形的面积和相等.刘徽指出,在用圆内接正多边形逼近圆面积的过程中,圆半径在正多边形与圆之间有一段余径.以余径乘正多边形的边长,即2倍的“差幂”,加到这个正多边形上,其面积则大于圆面积.这是圆面积的一个上界序列.刘徽认为,当圆内接正多边形与圆是合体的极限状态时,“则表无余径.表无余径,则幂不外出矣.”就是说,余径消失了,余径的长方形也就不存在了.因而,圆面积的这个上界序列的极限也是圆面积.于是内外两侧序列都趋向于同一数值,即,圆面积. 利用圆内接或外切正多边形,求圆周率近似值的方法,其原理是当正多边形的边数增加时,它的边长和逐渐逼近圆周.早在公元前5世纪,古希腊学者安蒂丰为了研究化圆为方问题就设计一种方法：先作一个圆内接正四边形,以此为基础作一个圆内接正八边形,再逐次加倍其边数,得到正16边形、正32边形等等,直至正多边形的边长小到恰与它们各自所在的圆周部分重合,他认为就可以完成化圆为方问题.到公元前3世纪,古希腊科学家阿基米德在《论球和圆柱》一书中利用穷竭法建立起这样的命题：只要边数足够多,圆外切正多边形的面积与内接正多边形的面积之差可以任意小.阿基米德又在《圆的度量》一书中利用正多边形割圆的方法得到圆周率的值小于三又七分之一而大于三又七十分之十 ,还说圆面积与外切正方形面积之比为11：14,即取圆周率等于22/7.公元263年,中国数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割圆”之说,他从圆内接正六边形开始,每次把边数加倍,直至圆内接正96边形,算得圆周率为3.14或157/50,后人称之为徽率.书中还记载了圆周率更精确的值3927/1250（等于3.1416）.刘徽断言“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣”.其思想与古希腊穷竭法不谋而合.割圆术在圆周率计算史上曾长期使用.1610年德国数学家柯伦用2^62边形将圆周率计算到小数点后35位.1630年格林贝尔格利用改进的方法计算到小数点后39位,成为割圆术计算圆周率的最好结果.分析方法发明后逐渐取代了割圆术,但割圆术作为计算圆周率最早的科学方法一直为人们所称道. π=lim(n→∞）1/2*sin(360/n)*n
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